Question

設(shè)定義域R函數(shù)f（x）=sinx²（其中sinx²意指x²的正弦值）
（1）請指出該函數(shù)的零點、最大（�。┲�，并類比“五點作圖法”畫出該函數(shù)在區(qū)間[0，

2π

]上的大致圖象；
（2）請指出該函數(shù)的奇偶性、單調(diào)區(qū)間和周期性（不必證明）．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，列表，類比“五點作圖法”畫出該函數(shù)在區(qū)間[0，

2π

]上的大致圖象即可；
（2）借助該函數(shù)在區(qū)間[0，

2π

]上的大致圖象，可得到該函數(shù)的奇偶性、單調(diào)區(qū)間和周期性．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx²，
由x²=kπ（k∈N）得：x=

kπ

（k∈N），
∴該函數(shù)的零點為x=

kπ

（k∈N），最大值為1，最小值為-1；
列表如下：

x	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	0	1	0	-1	1

作出該函數(shù)在區(qū)間[0，

2π

]上的大致圖象為：

（2）該函數(shù)為偶函數(shù)，在[0，

π 2

]上單調(diào)遞增；[

2kπ+ π 2

，

2kπ+ 3π 2

]（k∈N）上單調(diào)遞減；在[

2kπ+ 3π 2

，

2kπ+ 5π 2

]（k∈N）上單調(diào)遞增；
在[-

2kπ+ 3π 2

，-

2kπ+ π 2

]（k∈N）上單調(diào)遞增；在[-

2kπ+ 5π 2

，-

2kπ+ 3π 2

]（k∈N）上單調(diào)遞減；在[-

π 2

，0]上單調(diào)遞減；
該函數(shù)不是周期函數(shù)．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)區(qū)間和周期性，考查作圖能力與運算能力，屬于中檔題．