定義在R上的奇函數(shù)f（x），周期為4，且x∈（0，2）時，f（x）=
3x
9x+1
．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=
2
3x+2a
在x∈（0，2）上有兩個不等實根，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：（1）設x∈（-2，0），則-x∈（0，2），利用f（x）=-f（-x）和條件求出解析式，再由奇函數(shù)的性質(zhì)和周期性求出端點處的函數(shù)值；
（2）把方程f（x）=
2
3x+2a
化簡后，t=3x并求出t的范圍，將問題轉(zhuǎn)化為：方程t2-2at+2=0，t∈（1，9）有兩個不等實根，根據(jù)二次方程根的分布問題列出不等式組，求出a的取值范圍．
解答： 解：（1）∵當x∈（0，2）時，奇函數(shù)f（x）=
3x
9x+1
，
設x∈（-2，0），則-x∈（0，2），
∴f(x)=-f(-x)=-
3x
9x+1
，
又∵f（x）即為奇函數(shù)，且周期為4，
∴f（0）=0，f（2）=f（-2）=0，
∴f(x)=
0，x=0或-2或2
3x
9x+1
，0＜x＜2
-
3x
9x+1
，-2＜x＜0
，
（2）由f（x）=
2
3x+2a
得，
3x
9x+1
=
2
3x+2a
，
化簡得：（3x）2-2a•（3x）+2=0，
令t=3x，得到t2-2at+2=0，t∈（1，9），
即方程t2-2at+2=0，t∈（1，9）有兩個不等實根，
令g（t）=t2-2at+2，∴
△=4a2-8≥0
1＜a＜9
g(1)=3-2a＞0
g(9)=83-18a＞0
，
解得
2
＜a＜
3
2
，
故實數(shù)a的取值范圍：
2
＜a＜
3
2
．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應用，二次方程根的分布問題，以及換元法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題“對于任意x∈R，x2+ax+1＜0不成立”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

命題p：函數(shù)f（x）=x2+2ax+4有零點；
命題q：函數(shù)f（x）=（3-2a）x是增函數(shù)，
若命題p∧q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD=2AB=2．
（Ⅰ）若E為PC中點，求三棱錐C-BDE的體積；
（Ⅱ）在線段PB上找出一點F，使得AF∥平面PCD，指出點F的位置并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax+ex（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）有且只有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，若曲線f（x）上存在橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C
①證明：△ABC為鈍角三角形；
②試判斷△ABC能否為等腰三角形，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義域R函數(shù)f（x）=sinx2（其中sinx2意指x2的正弦值）
（1）請指出該函數(shù)的零點、最大（�。┲�，并類比“五點作圖法”畫出該函數(shù)在區(qū)間[0，
2π
]上的大致圖象；
（2）請指出該函數(shù)的奇偶性、單調(diào)區(qū)間和周期性（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點，橢圓的離心率為
5
7
，若橢圓上存在點A，使AF1⊥AF2，且|
AF1
|=λ|AF2|，則λ的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x）．當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x2．當x∈[2，4]時，則f（x）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n）（n≥2，n∈N*），其導函數(shù)為f′（x），設g（n）=
f(0)
f′(-2)
，則g（100）=
 
．

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