Question

在復平面內動點z=x+yi（x，y∈R），且滿足|z+

3

|+|z-

3

|=4，設動點z所應對的（x，y）的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線y=kx+2與曲線C交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據橢圓的定義即可求曲線C的方程；
（2）若直線y=kx+2與曲線C交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，求

OA

•

OB

的取值范圍．

解答： 解：（1）∵復平面內動點z=x+yi（x，y∈R），且滿足|z+

3

|+|z-

3

|=4，
∴等價為P到定點M（

3

，0），N（-

3

，0）的距離之和為4，
則P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其中c=

3

，2a=4，即a=2，則b=1，
則曲線C的方程

x2

4

+y2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+2 x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
由判別式△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，
整理得k²＞

3

4

，
則x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，
則

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=（1+k²）（

12

1+4k2

）+2k（-

16k

1+4k2

）+4=

17

1+4k2

-1，
∵k²＞

3

4

，∴1+4k²＞4，
則0＜

1

1+4k2

＜

1

4

，
則0＜

17

1+4k2

＜

17

4

，
即-1＜

17

1+4k2

-1＜

13

4

，
即

OA

•

OB

的取值范圍是（-1，

13

4

）．

點評：本題主要考查直線和橢圓的位置的應用，根據條件確定曲線方程是解決本題的關鍵．綜合性強，運算量較大．