Question

如圖，正△ABC的邊長為2，P、Q分別在邊AB、AC上運(yùn)動，且線段PQ將△ABC的面積二等分，求線段PQ長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：解三角形

分析：求出三角形的面積，設(shè)AP=a．AQ=b，PQ=c，結(jié)合基本不等式以及余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答： 解：∵正△ABC的邊長為2，
∴△ABC的面積是

1

2

×22×

3

2

=

3

，
∵線段PQ將△ABC的面積二等分，
∴△APQ面積是

3

2

，令A(yù)P=a，AQ=b，
則S_△APQ=

1

2

absin60°=

3

2

，
∴ab=2，
設(shè)PQ=c（0＜a≤2，0＜b≤2），
由余弦定理c²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab，
a²+b²-ab≥2ab-ab=ab=2，
當(dāng)ab=2（定值），a+b有最小值2

2

，最大值為3，（極限值為最大值），
a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≤3²-6=3，
綜上，2≤a²+b²-ab≤3，
∴2≤c²≤3
∴

2

≤c≤

3

，
即線段PQ長的取值范圍是[

2

，

3

]．

點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，結(jié)合基本不等式的是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．