Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
（Ⅰ）求

c

a

的值；
（Ⅱ）若cosB=

1

4

，△ABC的周長為5，求b．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，再利用正弦定理化簡即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）由第一問c=2a，代入a+b+c=5中，表示出b，利用余弦定理列出關系式，將表示出的b，c以及cosB代入求出a的值，即可確定出b的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，有

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
又b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB，
∴sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
則c=2a，即

c

a

=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）∵c=2a，a+b+c=5，
∴b=5-（a+c）=5-3a，
由余弦定理得：b²=c²+a²-2accosB，
∴（5-3a）²=（2a）²+a²-4a²×

1

4

，
解得：a=1或a=5，
當a=1時，b=2；當a=5時，與a+b+c=5矛盾，
則b=2．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的恒等變換應用，熟練掌握定理是解本題的關鍵．