Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

8y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)F₁K的中點(diǎn)Q（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)K（2x+1，2y），把K的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)即得線段KF₁的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，
∴2a=4，即a=2，
又點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，
因此

1

4

+

18

b2

=1，得b²=24，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足：x₁=2x+1，y₁=2y，
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1．即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、線段的中點(diǎn)公式，以及用代入法求軌跡方程．