Question

甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3道題，每人答對其中2題就停止答題，即為闖關(guān)成功．已知6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；
（Ⅱ）設(shè)乙答對題目的個數(shù)為η，求η的方差；
（Ⅲ）設(shè)甲答對題目的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用對立事件的概率計(jì)算公式能求出甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率．
（Ⅱ）由題意η～(3，

2

3

)，由此能求出η的方差．
（Ⅲ）由題意知ξ=1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A：甲、乙至少有一人闖關(guān)成功，
P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 2 2 C 1 4

C 3 6

[(

1

3

)3+

C

2 3

(

1

3

)2

2

3

]=

128

135

．…（4分）
（Ⅱ）由題意η～(3，

2

3

)，
所以D(η)=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

…（7分）
（Ⅲ）由題意知ξ=1，2，
P(ξ=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
P(ξ=2)=

C 1 2 C 2 4 + C 3 4

C 3 6

=

4

5

，
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2
P	1 5	4 5

…（10分）
E（ξ）=1×

1

5

+2×

4

5

=

9

5

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和均值的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．