Question

某同學(xué)參加政治、歷史、生物、地理四門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，假設(shè)該同學(xué)歷史學(xué)科測試成績?yōu)锳的概率為

4

5

，其余三門學(xué)科測試成績?yōu)锳的概率均為

1

2

，且四門學(xué)科測試成績是否為A相互獨立．
（1）求該同學(xué)恰有兩門學(xué)科測試成績?yōu)锳的概率；
（2）設(shè)四門學(xué)科中測試成績?yōu)锳的門數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)事件A_i（i=1，2，3，4）分別表示“該同學(xué)政治、歷史、生物、地理”四門學(xué)科測試成績?yōu)锳”，則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=

1

2

，由此能求出該同學(xué)恰有兩門學(xué)科測試成績?yōu)锳的概率．
（2）隨機變量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)事件A_i（i=1，2，3，4）分別表示
“該同學(xué)政治、歷史、生物、地理”四門學(xué)科測試成績?yōu)锳”，
則P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=

1

2

，
該同學(xué)恰有兩門學(xué)科測試成績?yōu)锳的概率是：
P=P（A1A2

.

A3

.

A4

）+P（A₁A₃

.

A2

.

A4

）+P（A1A4

.

A2

.

A3

）
+P（A2A3

.

A1

.

A4

）+P（A2A4

.

A1

.

A3

）+P（A3A4

.

A1

.

A2

）
=

4

5

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

4

5

)×(1-

1

2

)=

3

8

．
∴該同學(xué)恰有兩門學(xué)科測試成績?yōu)锳的概率是

3

8

．
（2）隨機變量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

1

5

×(

1

2

)3=

1

40

，
P（ξ=1）=

4

5

×(

1

2

)3+

C

1 3

×(

1

2

)3×

1

5

=

7

40

，
P（ξ=2）═

4

5

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

4

5

)×(1-

1

2

)=

3

8

，
P（ξ=3）=

1

5

×(

1

2

)3

C

2 3

(

1

2

)3×

4

5

=

13

40

，
P（ξ=4）=

4

5

×(

1

2

)3=

1

10

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 40	7 40	3 8	13 40	1 10

∴Eξ=0×

1

40

+1×

7

40

+2×

3

8

+3×

13

40

+4×

1

10

=

23

10

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．