已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1, f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極值．


解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞), f ′(x)＝1－.

(1)當(dāng)a＝2時(shí)， f(x)＝x－2ln x, f ′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1, f ′(1)＝－1，

所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1, f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f ′(x)＝1－＝，x>0知：

①當(dāng)a≤0時(shí)， f ′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；

②當(dāng)a>0時(shí)，由f ′(x)＝0，解得x＝a，

又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)， f ′(x)<0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)， f ′(x)>0，

從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無(wú)極大值．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無(wú)極大值．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝>3a2，則a的取值范圍是________．

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當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，則f(x)，g(x)，h(x)的大小關(guān)系是______．

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設(shè)函數(shù)f(x)＝cln x＋x2＋bx(b，c∈R，c≠0)，且x＝1為f(x)的極值點(diǎn)．

(1)若x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間(用c表示)；

(2)若f(x)＝0恰有兩解，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

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若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(　　)

A．(0,1)  B．(－∞，1)  C．(0，＋∞)  D.

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曲線y＝在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為(　　)

A．y＝2x＋1                             B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3                           D．y＝－2x－2

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已知函數(shù)f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，則f ′(0)＝________.

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 (x3＋1)dx的值為________．

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若f(x)是奇函數(shù)，且x0是y＝f(x)＋ex的一個(gè)零點(diǎn)，則－x0一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)(　　)

A．y＝f(－x)ex－1                       B．y＝f(x)e－x＋1

C．y＝exf(x)－1                         D．y＝exf(x)＋1

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