Question

如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）若矩形ABCD的一個邊AB=

3

，EF=2

3

，則另一邊BC的長為何值時，二面角B-EF-D的大小為45°？

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明：以直線DA為x軸，直線DC為y軸，直線DF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BE∥平面ADF．
（Ⅱ）求出平面BEF的一個法向量和平面DEF的一個法向量，利用向量法能求出另一邊BC的長為

1

2

時，二面角B-EF-D的大小為45°．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：以直線DA為x軸，直線DC為y軸，直線DF為z軸，
建立空間直角坐標系．則平面ADF的一個法向量為

n

=（0，1，0）．
設(shè)AB=a，BC=b，CE=c，
則點B、E的坐標分別為（b，a，0）和（0，a，c），
那么向量

BE

=（-b，0，c），由

n

•

BE

=0，得

n

⊥

BE

，
而直線BE在平面ADF的外面，所以BE∥平面ADF．
（Ⅱ）解：由EF=2

3

，EM=AB=

3

，得FM=3且∠MFE=30°．
由∠DEF=90°，得FD=4，從而得CE=1．（8分）
設(shè)BC=a，則點B的坐標為（a，

3

，0）．
又點E、F的坐標分別為（0，

3

，1）和（0，0，4），
所以

EB

=(a，0，-1)，

EF

=（0，-

3

，3）．
設(shè)平面BEF的一個法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

ax1-z1=0 - 3 y1+3z1=0

，解得一組解為（1，

3

a，a），所以

n1

=（1，

3

a，a）．（10分）
由題意知平面DEF的一個法向量為

n2

=（1，0，0），
得cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

4a2+1

，
由于此時＜

n1

，

n2

＞就是二面角B-EF-D的大小，
所以

1

4a2+1

=

1

2

，解得a=

1

2

．
所以另一邊BC的長為

1

2

時，二面角B-EF-D的大小為45°．（12分）

點評：本題考查直線與平在面平行的證明，考查滿足條件的線段長的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．