Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁，AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BF∥平面A₁EC；
（Ⅱ）若AB=AA₁，求二面角C-A₁E-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接A₁C與AC₁交于點(diǎn)O，連接OF，由已知得四邊形BEOF是平行四邊形，由此能證明BF∥平面A₁EC．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角C-A₁E-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接A₁C與AC₁交于點(diǎn)O，連接OF，
∵F為AC的中點(diǎn)，
∴OF∥C₁C且OF=

1

2

C₁C，
∵E為BB₁的中點(diǎn)，
∴BE∥C₁C且BE=

1

2

C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，
∴四邊形BEOF是平行四邊形，
∴BF∥OE，
∵BF?平面A₁EC，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=AA₁=2，A（0，0，0），C（

3

，1，0），
A 1 （0，0，2），E（0，2，1），

A1C

=（

3

，1，-2），

A1E

=（0，2，-1），

A1A

=（0，0，-2），
設(shè)平面CA₁E的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • A1C = 3 x+y-2z=0 n • A1E =2y-z=0

，取y=1，得

n

=（

3

，1，2），
設(shè)平面A₁EA的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • A1E =2b-c=0 m • A1A =-2c=0

，∴平面A₁EA的法向量

m

=（1，0，0），
設(shè)二面角C-A₁E-A的平面角為θ，cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3

8

|=

6

4

．
∴二面角C-A₁E-A的余弦值為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．