Question

已知直線l：x-y+1=0與橢圓：x²+7y²=4交于A，B兩點．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）求證：OA⊥OB．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a、b、c，然后求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓的方程，求出A、B坐標(biāo)，求出直線的斜率，然后證明：OA⊥OB．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程可化為為：

x2

4

+

y2

4 7

=1…（1分）
∴a2=4，b2=

4

7

∴a=2…（3分）
∴c2=a2-b2=

4

7

∴c=

2 42

7

…（4分）
∴e=

c

a

=

42

7

…（5分）
（Ⅱ）證明：聯(lián)立

x-y+1=0 x2+7y2=4

得：8x²+14x+3=0…（7分）
（4x+1）（2x+3）=0解得：x1=-

1

4

，x2=-

3

2

…（9分）
y1=

3

4

，y2=-

1

2

∴A(-

1

4

，

3

4

)，B(-

3

2

，-

1

2

)，…（10分）
∴kOA=-3，kOB=

1

3

∴k_OA•k_OB=-1           …（11分）
所以，OA⊥OB…（12分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)，考查分析問題解決問題的能力．