已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2a,(a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)曲線y=f(x)與x軸有且只有一個公共點,求a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:分類討論,導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)的導數(shù),再對a討論,分a≤0,a>0兩種,再分別求出單調區(qū)間;
(Ⅱ)運用(Ⅰ)的結論,當a≤0時,顯然成立;當a>0時,求出函數(shù)的極大值、極小值,由條件知極大值小于0或極小值大于0,解出不等式求并集即可.
解答: 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)=3x2-3a,
(1)當a≤0時,f′(x)≥0恒成立,此時f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
(2)當a>0時,令f′(x)=0,得x=±
a

令f′(x)>0,得x<-
a
x>
a

令f′(x)<0,得-
a
<x<
a

∴f(x)在(-∞,-
a
)
(
a
,+∞)
上是增函數(shù),
[-
a
,
a
]
上是減函數(shù);

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
(1)當a≤0時,f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)單調遞增,所以題設成立,
(2)當a>0時,f(x)在x=-
a
處達到極大值,在x=
a
處達到極小值,
此時題設成立等價條件是f(-
a
)<0
f(
a
)>0
,
即:(-
a
)3-3a(-
a
)+2a<0
(
a
)3-3a(
a
)+2a>0
,
即:-a
a
+3a
a
+2a<0
a
a
-3a
a
+2a>0
,
解得:0<a<1,
由(1)(2)可知a的取值范圍是(-∞,1).
點評:本題是導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用,要掌握運用導數(shù)求單調區(qū)間,求極值,同時一定要掌握分類討論的重要數(shù)學思想方法在解題中的正確運用.
練習冊系列答案
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x
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a
b
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1
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3
4
loga
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3
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