Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和，即，．

（）設(shè)函數(shù)，求集合和．

（）求證：．

（）設(shè)函數(shù)，且，求證：．

Answer 1

【答案】（），．

（）證明見解析．

（）證明見解析．

【解析】

（）根據(jù)函數(shù)定義，求得不動(dòng)點(diǎn)的表達(dá)式，根據(jù)方程即可求得集合A和集合B。

（）討論當(dāng)集合A為和不為空集兩種情況下B集合的關(guān)系，即可證明集合A與集合B的關(guān)系。

（）因?yàn)榧�合A為，所以分類討論與兩種不同條件下B集合的情況，即可得到B集合也為。

（）由，

得，

解得，

由，得，

解得．

∴，．

（）若，

則成立，

若，

設(shè)為中任意一個(gè)元素，

則有，

∴，

故，

∴．

（）由，得方程無實(shí)數(shù)解，

∴，

①當(dāng)時(shí)，

的圖象在軸的上方，

所以任意，恒成立，

即對(duì)于任意，

恒成立，

對(duì)于，則有成立，

∴對(duì)于，恒成立，

則．

②當(dāng)時(shí)，

的圖象在軸的下方，

所以任意，恒成立，

即對(duì)于，恒成立，

對(duì)于實(shí)數(shù)，則有成立，

所以對(duì)于任意，恒成立，

則．

綜上知，對(duì)于，

當(dāng)時(shí)，．