Question

橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，離心率e=

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂且斜率為

2

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若S △ABF1=20

3

，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知得a=

2

c，b=c，橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，c＞0，過F₂且斜率為

2

的直線方程為y=

2

(x-c)，聯(lián)立

x2+2y2=2c2 y= 2 (x-c)

，得5x²-8cx+2c²=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合已知條件能求出此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
由已知得e=

c

a

=

2

2

，∴a=

2

c，b=c，
∴橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，c＞0，
過F₂且斜率為

2

的直線方程為y=

2

(x-c)，
聯(lián)立

x2+2y2=2c2 y= 2 (x-c)

，得5x²-8cx+2c²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
△=64c²-40c²＞0，x1+x2=

8c

5

，x1x2=

2c2

5

|AB|=

3[( 8c 5 )2-4× 2c2 5 ]

=

6

5

2

c，
點(diǎn)F₁（-c，0）到直線y=

2

(x-c)的距離d=

|- 2 c-0- 2 c|

3

=

2 2 c

3

，
由S △ABF1=

1

2

|AB|d=

1

2

×

6

5

2

c×

2 2

3

c=20

3

，
解得c=5，
∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

50

+

y2

25

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．