Question

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，極軸與直角坐標(biāo)系的非負(fù)半軸重合，直線l的參數(shù)方程為

x=t y=2+2t

（參數(shù)t∈R），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求證：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）消去參數(shù)t，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程；利用極坐標(biāo)公式，化曲線C的極坐標(biāo)方程為普通方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，由

2x-y+2=0 x2=2y

，求出x₁，y₁，x₂，y₂的關(guān)系，從而計(jì)算

OA

•

OB

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為

x=t y=2+2t

（參數(shù)t∈R），
消去參數(shù)t，得普通方程是2x-y=-2，
即2x-y+2=0；
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ，
∴ρ²cos²θ=2ρsinθ，
化為普通方程是x²=2y．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l與曲線C相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
則

2x-y+2=0 x2=2y

，
消去y，得x²-4x-4=0；
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-4；
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（2x₁+2）（2x₂+2）
=x₁x₂+4[（x₁+x₂）+x₁x₂+1]
=-4+4×[4-4+1]=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)以及向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)先把參數(shù)方程與極坐標(biāo)化為普通方程，再利用向量的知識(shí)解答，是綜合題．