在△ABC中，E為AC上一點，且
AC
=4
AE
，P為BE上一點，且滿足
AP
=m
AB
+n
AC
（m＞0，n＞0），則
1
m
+
1
n
取最小值時，向量
a
=(m，n)的模為
 
．
考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：根據(jù)平面向量基本定理求出m，n關(guān)系，進(jìn)而確定
1
m
+
1
n
取最小值時m，n的值，代入求
a
的模
解答： 解：∵
AC
=4
AE
，
∴
AP
=m
AB
+n
AC

=m
AB
+4n
AE

又∵P為BE上一點，
∴不妨設(shè)
BP
=λ
BE
（0＜λ＜1）
∴
AP
=
AB
+
BP

=
AB
+λ
BE

=
AB
+λ（
AE
-
AB
）
=（1-λ）
AB
+λ
AE

∴m
AB
+4n
AE
=（1-λ）
AB
+λ
AE

∵
AB
，
AE
不共線
∴m+4n=1-λ+λ=1
∴
1
m
+
1
n
=（
1
m
+
1
n
）×1=（
1
m
+
1
n
）×（m+4n）=5+4
n
m
+
m
n
≥5+2
4n
m
×
m
n
=9（m＞0，n＞0）
當(dāng)且僅當(dāng)
4n
m
=
m
n
即m=2n時等號成立
又∵m+4n=1
∴m=
1
3
，n=
1
6

∴|
a
|=
m2+n2
=
5
6

故答案為
5
6
點評：本題考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，難點在于利用向量求m，n的關(guān)系和求
1
m
+
1
n
的最值
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點O重合，極軸與直角坐標(biāo)系的非負(fù)半軸重合，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=2+2t
（參數(shù)t∈R），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=2sinθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，求證：
OA
•
OB
=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且f（-1）=2，則f（2013）等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面向量
a
=（1，1），
b
=（-1，m），若
a
∥
b
，則m等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線y=
x2
4
-3lnx的一條切線的斜率為
1
2
，則切線的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知角A為銳角，且sin2A=4sinBsinC=(
sinB+sinC
m
)2，則實數(shù)m范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(x-
1
x
)6的展開式的中間一項是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα=3，則
3cosα+sinα
2cosα+sin(α+π)
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

向圓內(nèi)隨機(jī)投擲一點，此點落在該圓的內(nèi)接正n（n≥3，n∈N）邊形內(nèi)的概率為Pn，下列論斷正確的是（　�。�
A、隨著n的增大，Pn增大
B、隨著n的增大，Pn減小
C、隨著n的增大，Pn先增大后減小
D、隨著n的增大，Pn先減小后增大

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