Question

【題目】已知函數(shù) ，
（Ⅰ） 證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

【答案】（I）證明：在[1，+∞）上任取x1 ， x2 ， 且x1＜x2
（
=
∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0
∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
（II）解：由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函數(shù)
∴當(dāng)x=1時，有最小值2；
當(dāng)x=4時，有最大值
【解析】（I）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個變量且界定大小，再作差變形看符號．（II）由（I）知f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可知在[1，4]也是增函數(shù)，則當(dāng)x=1時，取得最小值，當(dāng)x=4時，取得最大值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種．