分析 (1)由題設可得c2-43c+23=0①,又點B在橢圓C上,可得169a2+19=1⇒a2=2②,又b2+c2=a2=2③,①③聯(lián)立解得c,b2,即可得橢圓方程;
(2)以O為極點,z軸為極軸,可得橢圓的極坐標方程為ρ2=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ},設P(ρ,θ),Q(ρ,\frac{π}{2}+θ),求得OP,OQ,結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式,求得O到PQ的距離,結(jié)合直線和圓相切的條件,即可得證.
解答 解:(1))F(c,0),A(0,b),B(\frac{4}{3},\frac{3}),
由題設可知\overrightarrow{FA}⊥\overrightarrow{FB},得(-c,b)•(\frac{4}{3}-c,\frac{3})=0,
即有c2-\frac{4}{3}c+\frac{^{2}}{3}=0①,
又點B在橢圓C上,
可得\frac{16}{9{a}^{2}}+\frac{1}{9}=1,可得a2=2②,
b2+c2=a2=2③,
①③聯(lián)立解得,c=1,b2=1,
故所求橢圓的方程為\frac{{x}^{2}}{2}+y2=1;
(2)證明:以O為極點,z軸為極軸,可得橢圓的極坐標方程為
ρ2=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ},
設P(ρ,θ),Q(ρ,\frac{π}{2}+θ),
即有ρ12=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ},ρ22=\frac{2}{co{s}^{2}(θ+\frac{π}{2})+2si{n}^{2}(\frac{π}{2}+θ)}=\frac{2}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ},
即有\frac{1}{O{P}^{2}}+\frac{1}{O{Q}^{2}}=\frac{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}{2}+\frac{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}{2}=\frac{3}{2},
設O到直線PQ的距離為h,即有h•PQ=OP•OQ,
即h2=\frac{O{P}^{2}•O{Q}^{2}}{P{Q}^{2}}=\frac{O{P}^{2}•O{Q}^{2}}{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{O{P}^{2}}+\frac{1}{O{Q}^{2}}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3},
可得h=\frac{\sqrt{6}}{3}.
則O到直線PQ的距離為定值\frac{\sqrt{6}}{3}.
則直線PQ與圓心為原點,半徑為\frac{\sqrt{6}}{3}的圓相切.
點評 本題考查橢圓方程的求法,注意運用向量垂直的條件:數(shù)量積為0,點滿足橢圓方程,考查直線和圓相切的條件:d=r,考查運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
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