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5.在△ABC中,已知BABC=2,三角形的面積為22
(1)求角cosB;
(2)求邊b的最小值;
(3)若sinC=429,求a和c的值.

分析 (1)根據(jù)數(shù)量積運算公式和面積運算公式可求得tanB,進而求出cosB;
(2)利用基本不等式和余弦定理得出b2的最小值;
(3)使用面積公式可求出ab=9,結(jié)合(2)中的ac=6可得出c.使用正弦定理解出a,b,c.

解答 解:(1)∵BABC=2,∴AB×BC×cosB=2,
∵S△ABC=12AB×BC×sinB=22,∴AB×BC×sinB=42
∴tanB=22.即sinB=22cosB.∴B為銳角.
∵sin2B+cos2B=1,∴9cos2B=1,∴cosB=13
(2)由(1)知ac=6.∴a2+c2≥2ac=12.
由余弦定理的b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-4≥8.
∴b的最小值為8=22
(3)∵S△ABC=12absinC=22,∴ab=9.
∵sinC=429,cosB=13,∴cosC=79,sinB=223
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=223
∴A=B,即a=b,∴a=3,c=2.

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,三角函數(shù)的恒等變換,正余弦定理及解三角形,屬于基礎(chǔ)題.

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