Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線，分別交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)．

（1）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明：；

（2）若△的面積是△的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)，設(shè)：，：，則，且，，，，，利用斜率公式計(jì)算；（2）由三角形面積關(guān)系得，再由當(dāng)與軸不垂直時(shí)，，可得（）即，檢驗(yàn)與軸垂直時(shí)也成立．

試題解析：由題設(shè)，設(shè)：，：，則，且，，，，．

記過，兩點(diǎn)的直線為，則的方程為．

（1）由于在線段上，故，

記的斜率為，的斜率為，

則，

∴．

（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，

則，，

由題設(shè)可得，

所以（舍去），．

設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為，

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由，可得（）．

而所以（）．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，

所以所求軌跡方程為．