已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F2的直線l1與C1交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF1的周長為4
2
，l1的傾斜角為α．
（I）當(dāng)l1垂直于x軸時(shí)，|AF2|+|BF2|=2
2
|AF2|•|BF2|
①求橢圓C1的方程；
②求證：對(duì)于?α∈[0，π），總有|AF2|+|BF2|=2
2
|AF2|•|BF2|．
（II）在（I）的條件下，設(shè)直線l2與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且OC⊥OD，過O作l2的垂線交l2于E，求E的軌跡方程C2，并比較C2與C1通徑所在直線的位置關(guān)系．
分析：（I）由題意可得，4a=4
2
?a=
2
，當(dāng)斜率不存在時(shí)，l1：x=c，
1
|AF2|
+
1
|BF2|
=
2a
b2
=
2
2
b2
=2
2
?b=1，C1：
x2
2
+y2=1；當(dāng)α≠
π
2
時(shí)，設(shè)l1：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），由焦半徑公式可得，|AF2|=
2
-
2
2
x1，|BF2|=
2
-
2
2
x2，故
1
|AF2|
+
1
|BF2|
=
4
2
-
2
(x1+x2)
4-2(x1+x2)+x1x2
．由此能導(dǎo)出對(duì)于?α∈[0，π），總有|AF2|+|BF2|=2
2
|AF2|•|BF2|．
（II）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l2：y=tx+b，C（x3，y3），D（x4，y4），
OC
•
OD
=x3x4+y3y4=(t2+1)x3x4+tb(x3+x4)+b2，
y=tx+b
x2+2y2=2
?(1+2t2)x2+4tbx+2b2-2=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
解答：解：（I）①由題意可得，4a=4
2
?a=
2

當(dāng)斜率不存在時(shí)，l1：x=c
1
|AF2|
+
1
|BF2|
=
2a
b2
=
2
2
b2
=2
2
?b=1
故C1：
x2
2
+y2=1，
②當(dāng)α≠
π
2
時(shí)，設(shè)l1：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）
由焦半徑公式可得，|AF2|=
2
-
2
2
x1，|BF2|=
2
-
2
2
x2
故
1
|AF2|
+
1
|BF2|
=
4
2
-
2
(x1+x2)
4-2(x1+x2)+x1x2
，
y=k(x-1)
x2+2y2=2
?(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
，
故
1
|AF2|
+
1
|BF2|
=
4
2
-
4
2
k2
1+2k2
4-
8k2
1+2k2
+
2k2-2
1+2k2
=
4
2
+4
2
k2
2k2+2
=2
2

故|AF2|+|BF2|=2
2
|AF2|•|BF2|成立
當(dāng)α=
π
2
時(shí)，由題意成立
故對(duì)于?α∈[0，π），總有|AF2|+|BF2|=2
2
|AF2|•|BF2|．
（II）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l2：y=tx+b，C（x3，y3），D（x4，y4）
OC
•
OD
=x3x4+y3y4=(t2+1)x3x4+tb(x3+x4)+b2
y=tx+b
x2+2y2=2
?(1+2t2)x2+4tbx+2b2-2=0，
△＞0?2t2-b2+1＞0
x3+x4=-
4tb
1+2t2
x3x4=
2b2-2
1+2t2

故
OC
•
OD
=
-2t2+3b2-2
1+2t2
=0?3b2-2=2t2，
原點(diǎn)O到l2的距離為d=
|b|
1+t2
=
|b|
3
2
b2
=
2
3
為定值
故E的軌跡方程為x2+y2=
2
3
(y≠0)，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，解得C(
2
3
，0)，D(-
2
3
，0)或C(-
2
3
，0)，D(
2
3
，0)均在E上
綜上可得，E的軌跡方程C2為x2+y2=
2
3
，
C1通徑所在的方程為x=±1
故兩者相離．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C1上，對(duì)角線BD所在的直線的斜率為1．
①當(dāng)直線BD過點(diǎn)（0，
1
7
）時(shí)，求直線AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
，其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P，連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連接PB并延長交橢圓C1于點(diǎn)N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，離心率e=
1
2

（1）設(shè)拋物線C2：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn)，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案