Question

【題目】已知正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1邊長(zhǎng)為1，下底面ABCD邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先設(shè)上、下底面中心分別為O1、O，則OO1⊥平面ABCD，以O為原點(diǎn)，直線BD、AC、OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)棱臺(tái)高為h，根據(jù)側(cè)棱與底面所成的角為60°求得h=，再求得＝(－，，)，＝(－，，－)，再求cos〈，〉的值，即得異面直線AD1與B1C所成角的余弦值.

設(shè)上、下底面中心分別為O1、O，則OO1⊥平面ABCD，以O為原點(diǎn)，直線BD、AC、OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，

∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO為側(cè)棱與底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，

設(shè)棱臺(tái)高為h，則tan60°＝，∴h＝，

∴A(0，－，0)，D1(－，0，)，B1(，0，)，C(0，，0)，

∴＝(－，，)，＝(－，，－)，

∴cos〈，〉＝＝，

故異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為．

故答案為：