Question

若函數(shù)f（x）=-sin²ωx-6sinωxcosωx+3cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為2π，若對任意x∈R都有f（x）-1≤|f（α）-1|，則tanα的值為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  2

  3

• C、-

  3

  2

• D、-

  2

  3

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將三角函數(shù)進行化簡，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=-sin²ωx-6sinωxcosωx+3cos²ωx=-（sin²ωx+cos²ωx）-6sinωxcosωx+4cos²ωx=-1-3sin2ωx+4×

1+cos2ωx

2

=2cos2ωx-3sin2ωx+1=

13

[cos2ωx

2

13

-sin2ωx

3

13

]+1，
設(shè)cosθ=

2

13

，sinθ=

3

13

，則tanθ=

3

2

，
則函數(shù)f（x）=

13

cos（2ωx+θ）+1，θ為參數(shù)，
則函數(shù)的周期T=

2π

2ω

=2π，則ω=

1

2

，即f（x）=2cosx-3sinx+1=

13

cos（x+θ）+1，
若對任意x∈R都有f（x）-1≤|f（α）-1|，
則f（α）為函數(shù)f（x）的最值，
即α+θ=kπ，
則α=-θ+kπ，
則tanα=tan（-θ+kπ）=-tanθ=-

3

2

，
故選：C

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重點考查三角函數(shù)的周期性和最值性，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．