分析 (Ⅰ)求出拋物線的準線方程,利用直線與圓的位置關(guān)系列出方程,求出P即可求拋物線Γ的方程;
(Ⅱ)設(shè)N(t,$\frac{{t}^{2}}{2}$),圓心O到直線PQ的距離為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$,求出點F到直線PQ的距離,表示出△FPQ面積,利用配方法,可求△FPQ面積的最大值.
解答 解:(Ⅰ)因為拋物線Γ的準線方程為:y=-$\frac{p}{2}$,
且直線被圓O:x2+y2=4所截得的弦長為$\sqrt{15}$,
所以$\sqrt{4-(\frac{p}{2})^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{15}$解得p=1,
因此拋物線Γ的方程為x2=2y…(4分).
(Ⅱ)設(shè)N(t,$\frac{{t}^{2}}{2}$),由y′=x知直線PQ的方程為:y-$\frac{{t}^{2}}{2}$=t(x-t).即y=tx-$\frac{{t}^{2}}{2}$.(6分)
因為圓心O到直線PQ的距離為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$,所以|PQ|=2$\sqrt{4-\frac{{t}^{4}}{4(1+{t}^{2})}}$,(7分)
設(shè)點F到直線PQ的距離為d,則d=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{t}^{2}}$,( 8分)
所以,△FPQ的面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+16}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-({t}^{2}-8)^{2}+80}$≤$\sqrt{80}$=$\sqrt{5}$(11分)
當(dāng)t=±2$\sqrt{2}$時取到“=”,經(jīng)檢驗此時直線PQ與圓O相交,滿足題意.
綜上可知,△FPQ的面積的最大值為$\sqrt{5}$.(12分).
點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查拋物線方程,考查三角形面積的計算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 0 | C. | -1 | D. | 不確定 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3-i | B. | 1+3i | C. | 3+i | D. | 1-3i |
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