Question

11．某商場進(jìn)行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎，抽獎規(guī)則如下：從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎勵，假設(shè)顧客抽獎的結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率；
（Ⅱ）某顧客已購物1500元，作為商場經(jīng)理，是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；
（Ⅲ）若顧客參加10次抽獎，則最有可能獲得多少現(xiàn)金獎勵？

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)閺难b有10個球的箱子中任摸一球的結(jié)果共有$C_{10}^1$種，摸到紅球的結(jié)果共有$C_4^1$種，由此能求出顧客參加一次抽獎獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率．
（Ⅱ）設(shè)X表示顧客在三次抽獎中中獎的次數(shù)，由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨(dú)立的，則X-B（3，0.4），由此能求出商場經(jīng)理希望顧客參加抽獎．
（Ⅲ）設(shè)顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數(shù)為Y．由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨(dú)立的，則Y-B（10，0.4）．恰好k次中獎的概率為$P（{Y=k}）=C_{10}^k×{0.4^k}×{0.6^{10-k}}$，k=0，1，…，10．由此能求出顧客參加10次抽獎，最有可能獲得400元的現(xiàn)金獎勵．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閺难b有10個球的箱子中任摸一球的結(jié)果共有$C_{10}^1$種，
摸到紅球的結(jié)果共有$C_4^1$種，
所以顧客參加一次抽獎獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率是$\frac{C_4^1}{{C_{10}^1}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．…（2分）
（Ⅱ）設(shè)X表示顧客在三次抽獎中中獎的次數(shù)，
由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨(dú)立的，則X-B（3，0.4），
所以E（X）=np=3×0.4=1.2．
由于顧客每中獎一次可獲得100元現(xiàn)金獎勵，因此該顧客在三次抽獎中可獲得的獎勵金額的
均值為1.2×100=120元．
由于顧客參加三次抽獎獲得現(xiàn)金獎勵的均值120元小于直接返現(xiàn)的150元，
所以商場經(jīng)理希望顧客參加抽獎．…（7分）
（Ⅲ）設(shè)顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數(shù)為Y．
由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨(dú)立的，則Y-B（10，0.4）．
于是，恰好k次中獎的概率為$P（{Y=k}）=C_{10}^k×{0.4^k}×{0.6^{10-k}}$，k=0，1，…，10．
從而$\frac{{P（{Y=k}）}}{{P（{Y=k-1}）}}=\frac{{2×（{11-k}）}}{3k}$，k=1，2，…，10，
當(dāng)k＜4.4時，P（Y=k-1）＜P（Y=k）；
當(dāng)k＞4.4時，P（Y=k-1）＞P（Y=k），
則P（Y=4）最大．
所以，最有可能獲得的現(xiàn)金獎勵為4×100=400元．
于是，顧客參加10次抽獎，最有可能獲得400元的現(xiàn)金獎勵．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、二項(xiàng)公布、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識與方法分析和解決實(shí)際問題的能力．