【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AB=4,EC∥FD,F(xiàn)D⊥底面ABCD,M是AB的中點.
(1)求證:平面CFM⊥平面BDF;
(2)若點N為線段CE的中點,EC=2,F(xiàn)D=3,求證:MN∥平面BEF.
【答案】
(1)
證明:直角梯形ABCD中,AB∥CD,BC=2,AB=4,且M是AB的中點,
∴BM=CD,∴四邊形BCDM是平行四邊形,
又BC=CD=2,∴平行四邊形BCDM是菱形;
∴BD⊥CM,
又FD⊥底面ABCD,CM平面BCDM,∴FD⊥CM,
且FD∩BD=D,
∴CM⊥平面BDF,
有CM平面CFM,
∴平面CFM⊥平面BDF;
(2)
過點N作NP∥EF,交DF與點P,連接PM,如圖所示;
∵EC∥FD,∴四邊形EFPN是平行四邊形,
又點N為線段CE的中點,EC=2,F(xiàn)D=3,
∴FP= EC=1,
PD=EC=2,
∴PE∥CD,且PE=CD,
又BM∥CD,且BM=CD,
∴BM∥PE,且PE=BM,
∴四邊形BEPM為平行四邊形,
∴PM∥BE;
又PM平面BEF,BE平面BEF,∴PM∥平面BEF;
同理,PM∥平面BEF,
又PM∩PN=P,PM平面PMN,PN平面PMN,
∴平面PMN∥平面BEF,
又MN平面PMN,∴MN∥平面BEF.
【解析】(1)證明四邊形BCDM是菱形,對角線BD⊥CM,再證明FD⊥CM,即可證明CM⊥平面BDF,從而得平面CFM⊥平面BDF;(2)過點N作NP∥EF,交DF與點P,連接PM,證明平面PMN∥平面BEF,即可證明MN∥平面BEF.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行),還要掌握平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每年每次租時間不超過兩小時免費,超過兩個小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為, ;兩小時以上且不超過三小時還車的概率為, ;兩人租車時間都不會超過四小時.
(1)求甲、乙都在三到四小時內(nèi)還車的概率和甲、乙兩人所付租車費相同的概率;
(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量,求的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線: (為參數(shù))和直線: (為參數(shù)).
(1)將曲線的方程化為普通方程;
(2)設直線與曲線交于兩點,且為弦的中點,求弦所在的直線方程.
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【題目】某網(wǎng)絡營銷部門為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友2015年11月11日在某網(wǎng)店的網(wǎng)購情況,隨機抽查了該市100名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況,得到如下頻率分布直方圖.
(1)估計直方圖中網(wǎng)購金額的中位數(shù);
(2)若規(guī)定網(wǎng)購金額超過15千元的顧客定義為“網(wǎng)購達人”,網(wǎng)購金額不超過15千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達人”;若以該網(wǎng)店的頻率估計全市“非網(wǎng)購達人”和“網(wǎng)購達人”的概率,從全市任意選取3人,則3人中“非網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購達人”的人數(shù)之差的絕對值為,求的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(12分)
某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.學#科@網(wǎng)
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【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= ,且f(x)在[﹣3,﹣2]上是減函數(shù),若α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則( )
A.f(sinα)>f(sinβ)
B.f(cosα)>f(cosβ)
C.f(sinα)>f(cosβ)
D.f(sinα)<f(cosβ)
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【題目】設函數(shù)f(x)= (Ⅰ)當 時,求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)是(﹣∞,+∞)上的減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】函數(shù)f(x)=loga(ax+1)+mx是偶函數(shù).
(1)求m;
(2)當a>1時,若函數(shù)f(x)的圖像與直線l:y=﹣mx+n無公共點,求n的取值范圍.
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【題目】已知橢圓: 的短軸長為,右焦點為,點是橢圓上異于左、右頂點的一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與直線交于點,線段的中點為,證明:點關(guān)于直線的對稱點在直線上.
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