【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動點到定點的距離與到定直線的距離的比為，動點的軌跡記為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若點在軌跡上運(yùn)動，點在圓上運(yùn)動，且總有，

求的取值范圍；

（3）過點的動直線交軌跡于兩點，試問:在此坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)點，由化簡求解；（2）圓心.根據(jù)圓與橢圓的位置關(guān)系，分兩種情況討論:①當(dāng)時，②當(dāng)時，設(shè)，分別利用三角代換求得其最值，即可得到取值范圍；（3）把代入橢圓的方程可得:，取點時滿足.然后證明:在此坐標(biāo)平面上存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點即可.

（1）設(shè)點，由題意可得:，

即:.

（2）圓心

:①當(dāng)時，∵總有，

∴

.②當(dāng)時，設(shè)，總有，

所以

，

∴.

綜上可得:的取值范圍是∪.

（3）把代入橢圓的方程可得:，

解得.，所以，，取點時滿足.

下面證明:存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點.

設(shè)過點的動直線的方程為:，.

聯(lián)立，化為:，

∴，.

則

∴在此坐標(biāo)平面上存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的焦點，漸近線方程為，直線過點且與雙曲線有且只有一個公共點.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求直線的方程.

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【題目】已知三棱柱的底面是等邊三角形，側(cè)面底面，是棱的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面將該三棱柱分成上下兩部分的體積比.

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【題目】為了進(jìn)一步推動全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機(jī)抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟(jì)項目測試成績的頻率分布直方圖如下：

經(jīng)濟(jì)項目測試成績頻率分布直方圖

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

2

3

5

15

40

35

文化項目測試成績頻數(shù)分布表

將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為一般，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為良好，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟(jì)項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

一般或良好

合計

男生數(shù)

女生數(shù)

合計

（2）用這100人的樣本估計總體.

（i）求該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值.

（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟(jì)項目的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行評價.

附：

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，，，為側(cè)棱上一點.

（Ⅰ）若，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在側(cè)棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于項數(shù)為（）的有窮正整數(shù)數(shù)列,記（），即為中的最大值，稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如的“創(chuàng)新數(shù)列”為.

（1）若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,2,3,4,4，寫出所有可能的數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足（），求證： （）；

（3）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求出所有的數(shù)列.

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【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為直角坐標(biāo)原點，以極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，將曲線向左平移個單位長度，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變，得到曲線

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），點為曲線上的動點，求點到直線距離的最大值.

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【題目】如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系.圓經(jīng)過、、三點.

（1）求圓的方程；

（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣：橢圓上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應(yīng)用。已知，直線與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求的值；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點。當(dāng)變化時，求面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點作直線與該橢圓交于、兩點，在線段上存在點，使成立，試問：點是否在直線上，請說明理由.

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