Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-

3

cosx的定義域為[a，b]，值域為[-1，

2

]，則b-a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的求值

分析：依題意可求得a-

π

3

≤x≤b-

π

3

，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），又a≤x≤b，∴a-

π

3

≤x≤b-

π

3

．
又-1≤2sin（x-

π

3

）≤

2

，∴-

1

2

≤sin（x-

π

3

）≤

2

2

．
在正弦函數(shù)y=sinx的一個周期內(nèi)，要滿足上式，則-

π

6

≤x-

π

3

≤

3π

4

，
∴（b-a）_max=

3π

4

+

π

6

=

11π

12

，（b-a）_min=

π

4

+

π

6

=

5π

12

，
故b-a的取值范圍為[

5π

12

，

11π

12

]，
故答案為：[

5π

12

，

11π

12

]．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，由-

1

2

≤sin（x-

π

3

）≤

2

2

，探究x-

π

3

的范圍是關(guān)鍵，也是難點，考查分析與思維能力，屬于難題．