Question

數(shù)列{b_n}滿足：b_n+1=2b_n+2，b_n=a_n+1-a_n，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{b_n+2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出bn=2n+1-2．
（Ⅱ）由a_n-a_n-1=b_n=2ⁿ-2，n≥2，得an-an-1=2n-2，n≥2，由此累加得a_n=2ⁿ⁺¹-2n，由此能求出數(shù)列{a_n的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2），
∴

bn+1+2

bn+2

=2，
又b₁+2=a₂-a₁+2=4，
∴數(shù)列{b_n+2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
即b_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
所以bn=2n+1-2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a_n-a_n-1=b_n=2ⁿ-2，n≥2，
∴an-an-1=2n-2，n≥2，
令n=2，3，4，…，n-1，
賦值累加得a_n-2=（2²+2³+…+2ⁿ）-2（n-1），
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2
=

2(2n-1)

2-1

-2n+2
=2ⁿ⁺¹-2n，
∴S_n=

4(1-2n)

1-2

-

n(2+2n)

2

=2ⁿ⁺²-（n²+n+4）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用．