已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.


證明　充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)

＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)

∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

又ab≠0，即a≠0且b≠0，

∴a2－ab－b2＝＋b2>0.

∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.

必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

綜上可知，當(dāng)ab≠0時，

a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.


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相關(guān)習(xí)題

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由“(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理過程中，其大前提是______________．

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命題“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是______．(填序號)

①若x2≥1，則x≥1或x≤－1；

②若－1＜x＜1，則x2＜1；

③若x＞1或x＜－1，則x2＞1；

④若x≥1或x≤－1，則x2≥1.

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已知a，b是實數(shù)，則“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________條件．

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命題“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是______________．

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判斷下列命題的真假．

(1)若x∈A∪B，則x∈B的逆命題與逆否命題；

(2)若0<x<5，則|x－2|<3的否命題與逆否命題；

(3)設(shè)a、b為非零向量，如果a⊥b，則a·b＝0的逆命題和否命題．

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已知橢圓的離心率為，焦點是(－3,0)，(3,0)，則橢圓方程為______________．

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已知點P(3,4)是橢圓＋＝1 (a>b>0)上的一點，F1、F2為橢圓的兩焦點，若PF1⊥PF2，試求：

(1)橢圓的方程；

(2)△PF1F2的面積．

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 ________.

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