Question

已知定點G（-3，0），S是圓C：（X-3）²+y²=72（C為圓心）上的動點，SG的垂直平分線與SC交于點E．設(shè)點E的軌跡為M．
（1）求M的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線，使得直線與曲線M相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6

2

的橢圓，由此能求出動點E的軌跡方程．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，其方程為y=x+m，由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

，得3x²+4mx+2m²-18=0．由此能求出符合題意的直線l存在，所求的直線l的方程為y=x+2

3

或y=x-2

3

．

解答： 解：（1）由題知|EG|=|ES|，
∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6

2

．
又∵|GC|=6＜6

2

，
∴點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6

2

的橢圓，
∴動點E的軌跡方程為

x2

18

+

y2

9

=1．…（4分）
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
其方程為y=x+m，
由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

消去y，化簡得3x²+4mx+2m²-18=0．
∵直線l與橢圓C相交于A，B兩點，
∴△=16m²-12（2m²-18）＞0，
化簡得m²＜27，解得-3

3

＜m＜3

3

．…（6分）
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁•x₂=

2(m2-9)

3

．
∵以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，
∴

OA

•

OB

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0．…（8分）
又y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=

4(m2-9)

3

-

4m2

3

+m²=0，
解得m=±2

3

．…（11分）
由于±2

3

∈（-3

3

，3

3

），
∴符合題意的直線l存在，
所求的直線l的方程為y=x+2

3

或y=x-2

3

．…（13分）

點評：本題考查點的方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．