Question

已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是曲線y=x²與x=y²圍成的區(qū)域，若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：求得兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1），可得區(qū)域A的面積等于函數(shù)y=x

1

2

-x²在[0，1]上的定積分值，利用積分計(jì)算公式算出區(qū)域A的面積，區(qū)域Ω表示的是一個(gè)邊長為1的正方形，因此求出此正方形的面積并利用幾何概型公式加以計(jì)算，即可得到所求概率．

解答： 解：聯(lián)解y=x²與x=y²，得兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1）．
因此，兩條曲線圍成的區(qū)域A的面積為
S=∫₀¹（x

1

2

-x²）dx=（

2

3

x

3

2

-

1

3

x3）

|

1 0

=

1

3

．
而Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，表示的區(qū)域是一個(gè)邊長為1的正方形，
∴在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率P=

1

3

，
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出區(qū)域A和Ω，求在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，使點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．