Question

【題目】已知圓C：，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．

（1）若直線(xiàn)l與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程；

（2）若直線(xiàn)l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】（1）或

【解析】

（1）通過(guò)直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線(xiàn)的方程與圓C相切，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑即可求解直線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，求出圓心到直線(xiàn)的距離、求得弦長(zhǎng)，得到的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時(shí)的距離，然后求出直線(xiàn)的斜率，即可得到直線(xiàn)的方程.

（1）①若直線(xiàn)l1的斜率不存在，則直線(xiàn)l1：x＝1，符合題意.

②若直線(xiàn)l1斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l1的方程為，即．

由題意知，圓心（3，4）到已知直線(xiàn)l1的距離等于半徑2，即： ，解之得 . 所求直線(xiàn)l1的方程是或.

(2)直線(xiàn)與圓相交，斜率必定存在，且不為0, 設(shè)直線(xiàn)方程為，

則圓心到直線(xiàn)l1的距離

又∵△CPQ的面積

＝

∴當(dāng)d＝時(shí)，S取得最大值2.

∴＝ ∴ k＝1 或k＝7

所求直線(xiàn)l1方程為 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .