Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 無(wú)極值；當(dāng)時(shí)， 極小值為；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可容易求得函數(shù)的極值；

（2）構(gòu)造函數(shù)，兩次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍即可.

（1）依題，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，令，得，

令，得

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

此時(shí)函數(shù)有極小值，

且極小值為.

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，

極小值為.

（2）令

易得且，

令

所以，

因?yàn)?/span>，，從而，

所以，在上單調(diào)遞增.

又

若，則

所以在上單調(diào)遞增，從而，

所以時(shí)滿足題意.

若，

所以，，

在中，令，由（1）的單調(diào)性可知，

有最小值，從而.

所以

所以，由零點(diǎn)存在性定理：

，使且

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，.

故當(dāng)，不成立.

綜上所述：的取值范圍為.