Question

16．設(shè)f（x）=5^|x|-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，則使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范圍是（　�。�

• A． （-1，-$\frac{1}{3}$）
• B． （-3，-1）
• C． （-1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=5^|x|-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
則f（-x）=5^|-x|-$\frac{1}{1+（{-x}）^{2}}$=5^|x|-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=f（x）為偶函數(shù)，
∵y₁=5^|x|是增函數(shù)，y₂=-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$也是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
那么：f（2x+1）＞f（x）等價于：|2x+1|＞|x|，
解得：x＜-1或$x＞-\frac{1}{3}$
使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范圍是（-∞，-1）∪（$-\frac{1}{3}$，+∞）．
故選D．

點評 本題考查了利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性求解不等式的問題．屬于基礎(chǔ)題．