Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)f（x）＞0．若P=f（

1

5

）+f（

1

11

），Q=f（

1

2

），R=f（0），則P，Q，R的大小關(guān)系為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取-1＜x＜y＜1，能說(shuō)明

x-y

1-xy

∈（-1，0），所以說(shuō)明f（

x-y

1-xy

）＞0，從而說(shuō)明函數(shù)f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)，再由已知等式把f（

1

5

）+f（

1

11

）化為一個(gè)數(shù)的函數(shù)值，則三個(gè)數(shù)的大小即可比較．

解答： 解：取x=y=0，則f（0）-f（0）=f（0），所以，f（0）=0，
設(shè)x＜y，且滿(mǎn)足-1＜x＜y＜1，則-1＜

x-y

1-xy

＜0，所以f（

x-y

1-xy

）＞0，又f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
所以f（x）＞f（y），所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)，
由f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），得：f（x）=f（y）+f（

x-y

1-xy

），
取y=

1

5

，

x-y

1-xy

=

1

11

，則x=

2

7

，
所以P=f（

1

5

）+f（

1

11

）=f（

2

7

），
因?yàn)?＜

2

7

＜

1

2

，所以f（0）＞f（

2

7

）＞f（

1

2

）
所以R＞P＞Q．
故答案為：R＞P＞Q．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等關(guān)系與不等式，考查了特值思想，解答此題的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用已知的等式證出函數(shù)是給定區(qū)間上的減函數(shù)，同時(shí)需要借助于已知等式把P化為一個(gè)數(shù)的函數(shù)值，屬于中檔題．