Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+b）e^x的極值點(diǎn)為x=-

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和x=1．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（2）當(dāng)0＜b≤2時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把b=1代入函數(shù)解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到其零點(diǎn)，然后討論零點(diǎn)與所給區(qū)間端點(diǎn)值的大小關(guān)系得到函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，并求得最值．

解答： 解：（1）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（-1，+∞）；
（2）∵f（x）=（x²+bx+b）e^x，
∴f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
當(dāng)-2≤-2b，即0＜b≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-2b，-b）上單調(diào)遞減，在（-b，b）上單調(diào)遞增．
∴M=max{f（-2b），f（b）}，
∵f（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
∴M=f（b）．
當(dāng)-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-2b，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，-b）上單調(diào)遞減，在（-b，b）上單調(diào)遞增．
∴M=max{f（-2），f（b）}，
∵f（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b2+2b-4=2(b+

1

2

)2-

9

2

＞2×12+2×1-4=0，
∴M=f（b）．
當(dāng)-2=-b，即b=2時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-2b，b）上單調(diào)遞增，
∴M=f（b）．
綜上所述：M=f（b）=（2b²+b）e^b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)在轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．