Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PECF是矩形，用向量法證明下列問題：
（Ⅰ）PA=EF    
（Ⅱ）PA⊥EF．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)|

DP

|=λ，則A（0，1），P（

2

2

λ，

2

2

λ），E（1，

2

2

λ），F(xiàn)（

2

2

λ，0）．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式即可證明；
（II）利用向量垂直與數(shù)量積運(yùn)算之間的關(guān)系即可得出．

解答： 證明：（I）建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)|

DP

|=λ，
則A（0，1），P（

2

2

λ，

2

2

λ），E（1，

2

2

λ），F(xiàn)（

2

2

λ，0）．
∴

PA

=（-

2

2

λ，1-

2

2

λ），

EF

=（

2

2

λ-1，-

2

2

λ）．
|

PA

|²=（-

2

2

λ）²+（1-

2

2

λ）²=λ²-

2

λ+1
|

EF

|²=（

2

2

λ-1）²+（-

2

2

λ）²=λ²-

2

λ+1
∴|

PA

|²=|

EF

|²，故PA=EF．
（Ⅱ） 

PA

•

EF

=（-

2

2

λ）（

2

2

λ-1）+（1-

2

2

λ）（-

2

2

λ）=0
∴

PA

⊥

EF

，
∴PA⊥EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的計(jì)算公式、向量垂直與數(shù)量積運(yùn)算之間的關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．