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5.給出以下命題:
①若a>b>0,d<c<0,\frac{{\sqrt{a}}}{c}<\frac{{\sqrt}}dprs1ek
②如果p1•p2≥4q1q2,則關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2+p1x+q1=0,x2+p2x+q2=0中至少有一個方程有實根;
③若x≠kπ,k∈Z,則sinx+1sinx≥2;
④當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=x-1x無最大值.
其中真命題的序號是( �。�
A.①②B.②③C.①②③D.①③④

分析 逐項判斷4個命題的正誤.①利用不等式的基本性質(zhì)即可求解;②正確理解“至少一個”.可從反面來求,易得;③注意基本不等式的前提,即可判斷;④由已知函數(shù)的單調(diào)性易得.

解答 解:①∵a>b>0,∴a,
又d<c<0,∴1g2ef2wy01c01p6hdkxf1c
1c1g62ctrd0,
a1c1h58jr6x,
acrdliv16,故①正確;
②命題的逆否命題為:若兩個方程都無實根,則p1p24q1q2,
若兩個方程都無實根,則有{1=p124q102=p224q20,
p124q1q224q2,∴p12p2216q1q2,∴p1p24q1q2,故其逆命題正確,所以原命題正確,即②正確;
③取x=-\frac{π}{2}≠kπ,此時sinx+\frac{1}{sinx}=-2<2,故③錯誤;
④∵函數(shù)f(x)=x-\frac{1}{x}在(0,2]上是增函數(shù),所以函數(shù)在(0,2]上有最大值f(2)=\frac{3}{2},故④錯誤.
綜上可知,①②正確故選A.

點評 本題主要考查不等式性質(zhì),基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性.屬于易錯題.

練習(xí)冊系列答案
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13.設(shè)函數(shù)f(x)=a-\frac{2}{{2}^{x}+1},x∈R,a為常數(shù);
(1)當(dāng)a=1時,判斷f(x)的奇偶性;
(2)求證:f(x)是R上的增函數(shù).

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(2)判斷并證明f(x)在[-1,0)上的單調(diào)性;
(3))當(dāng)x∈(0,1]時,方程\frac{2^x}{f(x)}-2x-m=0有解,試求實數(shù)m的取值范圍.

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10.已知點A(1,0)在矩陣M=[\begin{array}{l}{a}&{1}\\&{0}\end{array}](b>0)對應(yīng)的變換下得到點P,若△POA的面積為\sqrt{3}(O為坐標(biāo)原點),∠POA=60°,求a,b的值,并寫出M的逆矩陣.

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17.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0),f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x-1
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)-mx,若對任意的x1,x2∈[1,2],都有|g(x1)-g(x2)|≤2成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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14.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,g(x)=\left\{{\begin{array}{l}{0,0<x≤1}\\{\frac{1}{8}|{{x^2}-9}|,x>1}\end{array}},若方程f(x)-g(x)=1在[a,+∞)上有三個實根,則正實數(shù)a的取值范圍為(0,\frac{1}{2}].

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15.過拋物線x2=2py(p>0且為常數(shù))的焦點F作斜率為1的直線,交拋物線于A,B兩點,求證:線段AB的長為定值.

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