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11.定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)0<x≤1時,f(x)=2x4x+1,
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)判斷并證明f(x)在[-1,0)上的單調(diào)性;
(3))當(dāng)x∈(0,1]時,方程2xfx-2x-m=0有解,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f(x)的解析式即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為m=4x+1-2x在(0,1]上有解,令2x=t,t∈(1,2],從而求出m的范圍即可.

解答 解:(1)設(shè)x∈[-1,0),則-x∈(0,1],
f(-x)=2x4x+1=2x1+4x,
∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-2x1+4x
∴f(x)={2x1+4xx01]0x=02x1+4xx[10;
(2)設(shè)-1<x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)=-2x11+4x1+2x21+4x2=2x12x22x1+x211+4x11+4x2,
∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,-2<x1+x2<0,
2x1+x2-1<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在[-1,0)遞減;
(3)方程2xfx-2x-m=0有解,
即m=4x+1-2x在(0,1]上有解,
令2x=t,t∈(1,2],
t2-t+1∈(1,3],
∴m∈(1,3].

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的證明以及轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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5.給出以下命題:
①若a>b>0,d<c<0,\frac{{\sqrt{a}}}{c}<\frac{{\sqrt}}ovhuho7;
②如果p1•p2≥4q1q2,則關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+p1x+q1=0,x2+p2x+q2=0中至少有一個方程有實(shí)根;
③若x≠kπ,k∈Z,則sinx+1sinx≥2;
④當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=x-1x無最大值.
其中真命題的序號是( �。�
A.①②B.②③C.①②③D.①③④

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2.若0<x<12,則函數(shù)y=x14x2的最大值為( �。�
A.1B.12C.14D.18

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3.下列說法中正確的是( �。�
A.若數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,則數(shù)列{an+3}
是公差為4的等差數(shù)列
B.數(shù)列6,4,2,0 是公差為2的等差數(shù)列
C.若數(shù)列{an}等差,Sn是其前n項(xiàng)和,則數(shù)列{Snn}也等差
D.4與6的等差中項(xiàng)是±5

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