Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），M（1，y）（y＞0）為橢圓上的一點，△MOF₁的面積為$\frac{3}{4}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點T在圓x²+y²=1上，是否存在過點 A（2，0）的直線l交橢圓C于點 B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知列式c=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×y=\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1$，得a²，b^2即可；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，得T（$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）代入 圓C₁，可得化為176k⁴-24k²-5=0可求得k．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$
∵△MOF₁的面積為$\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×y=\frac{3}{4}$，求得y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵M(jìn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為橢圓上的一點，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1$，解得a²=4，b²=1；
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）假設(shè)存在過點A（2，0）的直線l交曲線C₂于點B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$），且點T在圓x²+y²=1上．
當(dāng)直線的斜率不存在時，點A與點B重合，此時點T的坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{5}}{5}，0）$，顯然不在圓上，不符合題意．
∴設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，
△＞0．∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∴T（$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）代入 圓C₁，可得化為176k⁴-24k²-5=0，$\frac{1}{4}$，k=$±\frac{1}{2}$．
在過點A（2，0）的直線l交曲線C₂于點B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$），且點T在圓x²+y²=1上，
出直線l的方程為：y=±$\frac{1}{2}$（x-2）

點評 本題考查了、直線與圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．