【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)（，）

（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)為導(dǎo)數(shù)，

（i）證明：當(dāng)，時，；

（ii）設(shè)關(guān)于的方程的根為，求證：

【答案】（1）當(dāng)為奇數(shù)時的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)為偶數(shù)時的增區(qū)間為及，減區(qū)間為。

（2）（i）證明見解析，（ii）證明見解析。

【解析】

（1）對，求導(dǎo)可得，分當(dāng)為大于1的奇數(shù)，和為偶數(shù)時兩種情況討論可得的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）設(shè)，，求導(dǎo)得，根據(jù)研究即可得到所證結(jié)論；

（ii），原方程化為解得，因?yàn)?/span>，所以；作差得，，由（i）知，可得，所以，即可得證.

（1），

當(dāng)，時

即

（a）當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，是偶數(shù)，，，

當(dāng)時，，當(dāng)時

故的增區(qū)間為，減區(qū)間為

當(dāng)為偶數(shù)時，是奇數(shù)，由于，所以

當(dāng)或時，，當(dāng)時

故的增區(qū)間為及，減區(qū)間為

綜上，當(dāng)為奇數(shù)時的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

當(dāng)為偶數(shù)時的增區(qū)間為及，減區(qū)間為，

（2）（i）證明：設(shè)，，則，

因?yàn)?/span>，，故在是增函數(shù)，

從而，由于，

所以，

所以在是增函數(shù)，，即

（ii），原方程化為

解得，因?yàn)?/span>，所以；

作差得，，

由（i）知，當(dāng)，時，，

令，，故有，所以，，

綜上，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為；_______________；

（Ⅰ）在①的一條對稱軸；②的一個對稱中心；③的圖象經(jīng)過點(diǎn)這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若動直線與和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，求線段長度的最大值及此時的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖為某大河的一段支流，岸線近似滿足∥寬度為7圓為河中的一個半徑為2的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護(hù)小島，段設(shè)計成與圓相切，設(shè)

（1）試將通道的長表示成的函數(shù)，并指出其定義域.

（2）求通道的最短長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正四棱錐的底面正方形邊長是3，是在底面上的射影，，是上的一點(diǎn)，過且與、都平行的截面為五邊形．

（1）在圖中作出截面，并寫出作圖過程；

（2）求該截面面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號為0的小球1個，標(biāo)號為1的小球1個，標(biāo)號為2的小球個.若從袋子中隨機(jī)抽取1個小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是.

（1）求的值；

（2）從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為，第二次取出的小球標(biāo)號為.

①記“”為事件，求事件的概率；

②在區(qū)間內(nèi)任取2個實(shí)數(shù)，，求事件“恒成立”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）若，極大值；

（2）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點(diǎn)，，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)y=2cos（2x+）的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=f（x）的圖象．

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求f（x）在[0，]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】每年春節(jié)，各地的餐館都出現(xiàn)了用餐需預(yù)定的現(xiàn)象，致使一些人在沒有預(yù)定的情況下難以找到用餐的餐館，針對這種現(xiàn)象，專家對人們的用餐地點(diǎn)及性別作出調(diào)查，得到的情況如下表所示：

在家用餐

在餐館用餐

總計

男性

30

女性

40

總計

50

100

（1）完成上述列聯(lián)表；

（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試通過計算判斷是否有的把握說明用餐地點(diǎn)與性別有關(guān)？

參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了改善市民的生活環(huán)境，長沙某大型工業(yè)城市決定對長沙市的1萬家中小型化工企業(yè)進(jìn)行污染情況摸排，并出臺相應(yīng)的整治措施．通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì)，周邊空氣質(zhì)量等的檢驗(yàn)，把污染情況綜合折算成標(biāo)準(zhǔn)分100分，發(fā)現(xiàn)長沙市的這些化工企業(yè)污染情況標(biāo)準(zhǔn)分基本服從正態(tài)分布N（50，162），分值越低，說明污染越嚴(yán)重；如果分值在［50，60］內(nèi)，可以認(rèn)為該企業(yè)治污水平基本達(dá)標(biāo)．

（Ⅰ）如圖為長沙市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標(biāo)準(zhǔn)分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標(biāo)準(zhǔn)分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達(dá)標(biāo)；

（Ⅱ）大量調(diào)査表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn)，那么標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標(biāo)準(zhǔn)分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元．長沙市決定關(guān)停80％的標(biāo)準(zhǔn)分低于18分的化工企業(yè)和60％的標(biāo)準(zhǔn)分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少？

（附：若隨機(jī)變量，則， ，）

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