Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為邊長(zhǎng)為2對(duì)的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．

（1）判定AE與PD是否垂直，并說(shuō)明理由；
（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：垂直．

證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，

可得△ABC為正三角形．

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

所以PA⊥AE．

而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，

所以AE⊥PD．

（2）解：由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，∴A（0，0，0）， ， ，D（0，2，0），P（0，0，2）， ， ，

所以 ， ．

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為 ，則 ，

因此 ，取z1=﹣1，則 ．

因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，故 為平面AFC的一個(gè)法向量．

又 ，所以 ．

因?yàn)槎�面角E﹣AF﹣C為銳角，所以所求二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）判斷垂直．證明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后證明AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AEF的一個(gè)法向量，平面AFC的一個(gè)法向量．通過(guò)向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)，需要了解垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行才能得出正確答案．