【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；

（2）求角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）過點(diǎn)作平面，垂足為，連接，．證明在的垂直平分線上，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)作平行于的向量為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方形的邊長為，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值．

（1）證明：過點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連接GC，GD.

因?yàn)椤?/span>ACD為等邊三角形，所以AC=AD，所以點(diǎn)G在CD的垂直平分線上.

又因?yàn)?/span>EF是CD的垂直平線，所以點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

另證：過點(diǎn)A作AG⊥EF，再證AG⊥CD，從而證得AG⊥平面BCDE，

即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

（2）解：以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA所在直線為z軸，GF所在直線為y軸，過點(diǎn)G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，連接AF，

則 ，，

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

令，得，又平面的一個(gè)法向量

所以，

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

C.的最大值為D.是周期函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2，則稱這個(gè)數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且其前項(xiàng)和滿足？若存在，請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“阿當(dāng)數(shù)列”，，，當(dāng)數(shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”時(shí)，試判斷數(shù)列是否為“阿當(dāng)數(shù)列”，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2021年起，福建省高考將實(shí)行“3+1+2”新高考.“3”是統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)和英語三門；“1”是選擇性考試科目，由考生在物理、歷史兩門中選一門；“2”也是選擇性考試科目，由考生從化學(xué)、生物、地理、政治四門中選擇兩門，則某考生自主選擇的“1+2”三門選擇性考試科目中，歷史和政治均被選擇到的概率是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)，存在，使成立，則稱集合是“垂直對(duì)點(diǎn)集” .給出下列四個(gè)集合：

① ；

②；

③ ；

④.

其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（ ）.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；

（2）求角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①對(duì)任意的恒有成立；②當(dāng)時(shí)，.記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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【題目】若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①線段長度的取值范圍是；

②存在點(diǎn)使得平面；

③存在點(diǎn)使得.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

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