Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．
（Ⅰ）設(shè)集合A={-1，1，2，3，4，5}和B={-2，-1，1，2，3，4}，分別從集合A，B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 這五種情況來(lái)研究a＞0，且 

2b

a

≤1的取法共有16種，而所有的取法共有6×6=36 種，從而求得所求事件的概率．
（Ⅱ）由條件可得，實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的面積等于S_△OMN=

1

2

×8×8=32，滿(mǎn)足條件的區(qū)域的面積為S_△POM=

1

2

×8×

8

3

=

32

3

，故所求的事件的概率為 P=

S△POM

S△OMN

，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答： 解：要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則a＞0且-

-4b

2a

≤1，即a＞0且2b≤a．
（Ⅰ）所有（a，b）的取法總數(shù)為6×6=36個(gè)，滿(mǎn)足條件的（a，b）有（1，-2），（1，-1），（2，-2），（2，-1），（2，1），（3，-2），（3，-1），（3，1），（4，-2），（4，-1），（4，1），（4，2），（5，-2），（5，-1），（5，1），（5，2）共16個(gè)，
所以，所求概率p=

16

36

=

4

9

．…（6分）
（Ⅱ）如圖，求得區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

的面積為

1

2

×8×8=32．
由

x+y-8=0 x-2y=0

，求得P(

16

3

，

8

3

)
所以區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)足a＞0且2b≤a的面積為

1

2

×8×

8

3

=

32

3

．
所以，所求概率p=

32 3

32

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等可能事件的概率與二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題相結(jié)合的問(wèn)題，畫(huà)出實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是幾何概型的概率求法．