Question

已知函數(shù)f（x）=a lg(x2-2x+3)（a＞0，a≠1）在R上有最小值2．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=x²-2x+3=（x-1）²+2，顯然t＞0恒成立，且t的最小值為2，t無(wú)最大值．根據(jù)題意可得a＞1，且 a^lg2=2，由此求得a的值．
（2）由于f（x）=10^t，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間即函數(shù)t的增區(qū)間，f（x）的單調(diào)減區(qū)間即函數(shù)t的減區(qū)間，再結(jié)合二次函數(shù)t的性質(zhì)可得結(jié)論．

解答： 解：（1）令t=x²-2x+3=（x-1）²+2，顯然t＞0恒成立，且函數(shù)t在（-∞，1）上遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故t的最小值為2，t無(wú)最大值．
∵函數(shù)f（x）=a lg(x2-2x+3)=alg[(x-1)2+2] （a＞0，a≠1）在R上有最小值2，
可得a＞1，且 a^lg2=2，∴a=10．
（2）由于f（x）=a^t=10^t，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間即函數(shù)t的增區(qū)間，為[1，+∞）；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間即函數(shù)t的減區(qū)間，為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．