在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M,交PC于點N.
(1)求證:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值;
(3)求點N到平面ACM的距離.
考點:點、線、面間的距離計算,直線與平面所成的角
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)AC是所作球面的直徑,則AM⊥MC.由此能證明平面ABM⊥平面PCD.
(2)由AM⊥PD,又PA=AD,設(shè)D到平面ACM的距離為h,由VD-ACM=VM-ACD,能求出直線CD與平面ACM所成的角的正弦值.
(3)由已知得PC=6.AN⊥NC,由
PN
PA
=
PA
PC
,得PN=
8
3
.從而NC:PC=5:9.由此能求出點N到平面ACM的距離.
解答: 解:(1)證明:依題設(shè)知,AC是所作球面的直徑,則AM⊥MC.
又因為P A⊥平面ABCD,則PA⊥CD,又CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,則CD⊥AM,所以AM⊥平面PCD,
所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)解:由(1)知,AM⊥PD,又PA=AD,
則M是PD的中點,得AM=2
2
,MC=
MD2+CD2
=2
3
,
則S△ACM=
1
2
AM•MC
=2
6

設(shè)D到平面ACM的距離為h,由VD-ACM=VM-ACD,得2
6
h
=8,
解得h=
2
6
3
,
設(shè)所求角為θ,則sinθ=
h
CD
=
6
3

(3)解:∵四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥ABCD,
PA=AD=4,AB=2,
解得PC=6.因為AN⊥NC,
PN
PA
=
PA
PC
,得PN=
8
3
.所以NC:PC=5:9.
故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的
5
9

又因為M是PD的中點,則P、D到平面ACM的距離相等,
由(2)可知所求距離為
5
9
h
=
10
6
27
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,考查點到平面的距離的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊系列答案
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求不等式的解集:4x2-20x<25.

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如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,又PA⊥平面ABCD,PA=4.BQ=t
(1)若在邊BC上存在一點Q,使PQ⊥QD,求a與t關(guān)系;
(2)在(1)的條件下求a的取值范圍;
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數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且Sn+
1
2
an
=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn=log3
a
2
n
4
,數(shù)列{
1
bnbn+2
}
的前n項和為Tn,若不等式Tn<m,對任意的正整數(shù)n恒成立,求m的取值范圍.

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(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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若等差數(shù)列{an}中,a1=3,a4=12,{bn-an}為等比數(shù)列,且數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.

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已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-2)2+y2=1相交,則雙曲線兩漸近線的夾角取值范圍是
 

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已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若
FP
=3
FQ
,則|QF|=( 。
A、1
B、
4
3
C、
5
3
D、2

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頂點在原點,經(jīng)過圓C:x2+y2-2x+2
2
y=0的圓心且準(zhǔn)線與x軸垂直的拋物線方程為
 

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