Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求點N到平面ACM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC．由此能證明平面ABM⊥平面PCD．
（2）由AM⊥PD，又PA=AD，設(shè)D到平面ACM的距離為h，由V_D-ACM=V_M-ACD，能求出直線CD與平面ACM所成的角的正弦值．
（3）由已知得PC=6．AN⊥NC，由

PN

PA

=

PA

PC

，得PN=

8

3

．從而NC：PC=5：9．由此能求出點N到平面ACM的距離．

解答： 解：（1）證明：依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC．
又因為P A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，則CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
則M是PD的中點，得AM=2

2

，MC=

MD2+CD2

=2

3

，
則S_△ACM=

1

2

AM•MC=2

6

．
設(shè)D到平面ACM的距離為h，由V_D-ACM=V_M-ACD，得2

6

h=8，
解得h=

2 6

3

，
設(shè)所求角為θ，則sinθ=

h

CD

=

6

3

．
（3）解：∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，
PA=AD=4，AB=2，
解得PC=6．因為AN⊥NC，
由

PN

PA

=

PA

PC

，得PN=

8

3

．所以NC：PC=5：9．
故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的

5

9

．
又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，
由（2）可知所求距離為

5

9

h=

10 6

27

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．