Question

若等差數列{a_n}中，a₁=3，a₄=12，{b_n-a_n}為等比數列，且數列{b_n}滿足b₁=4，b₄=20．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁=3，a₄=12，∴12=3+3d，解得d=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n．
∵{b_n-a_n}為等比數列，設公比為q，
又數列{b_n}滿足b₁=4，b₄=20．
∴b4-a4=(b1-a1)q3，即（20-12）=（4-3）q³，解得q=2．
∴bn-an=2n-1，
∴b_n=3n+2^n-1．
（2）由（1）可得數列{b_n}的前n項和=3（1+2+…+n）+1+2+2²+…+2^n-1
=

3n(n+1)

2

+

2n-1

2-1

=

3n(n+1)

2

+2ⁿ-1．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．