Question

已知無窮數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．

(1)若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且對任意正整數(shù)n都有S_n3＝(S_n)³成立，求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)對任意正整數(shù)n，從集合{a₁，a₂，…，a_n}中不重復(fù)地任取若干個數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過加減運算后所得數(shù)的絕對值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a₁，a₂，…，a_n一起恰好是1至S_n全體正整數(shù)組成的集合．

(ⅰ)求a₁，a₂的值；

(ⅱ)求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解　(1)設(shè)無窮等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因為S_n3＝(S_n)³對任意正整數(shù)n都成立，所以分別取n＝1，n＝2時，則有：

因為數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，所以d≥0.

可得a₁＝1，d＝0或d＝2.(4分)

當a₁＝1，d＝0時，a_n＝1，S_n3＝(S_n)³成立；

當a₁＝1，d＝2時，S_n＝n²，所以S_n3＝(S_n)³.

因此，共有2個無窮等差數(shù)列滿足條件，通項公式為a_n＝1或a_n＝2n－1.(6分)

(2)(ⅰ)記A_n＝{1,2，…，S_n}，顯然a₁＝S₁＝1.(7分)

對于S₂＝a₁＋a₂＝1＋a₂，有A₂＝{1,2，…，S_n}＝{1，a₂，1＋a₂，|1－a₂|}＝{1,2,3,4}，

故1＋a₂＝4，所以a₂＝3.(9分)

(ⅱ)由題意可知，集合{a₁，a₂，…，a_n}按上述規(guī)則，共產(chǎn)生S_n個正整數(shù)．(10分)

而集合{a₁，a₂，…，a_n，a_n＋1}按上述規(guī)則產(chǎn)生的S_n＋1個正整數(shù)中，除1,2，…，S_n這S_n個正整數(shù)外，還有a_n－1，a_n＋1＋i，|a_n＋1－i|(i＝1,2，…，S_n)，共2S_n＋1個數(shù)．

所以，S_n＋1＝S_n＋(2S_n＋1)＝3S_n＋1.(12分)

所以，數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n＝3^n－1.(16分)